FUNCIONES

·  ¿Qué es una función?

·  Tipos de función
·  Clasificacion de funciones
·  Tipos de funciones

1.-¿QUE ES UNA FUNCION?

Una funcion es como una maquina tiene una entrada y una salida.

Y lo que sale esta relacionado de alguna manera con lo que entra.

PAR ORDENADO

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento es a y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, denotado por {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias, las coordenadas cartesianas, las fracciones y las funciones se definen en términos de pares ordenados.  

Un par ordenado (a,b) consta de dos elementos: a que ocupa el primer lugar y el b que ocupa el segundo lugar.

Dos pares ordenados son iguales si y solo si el primer componente de uno es igual al primer componente del otro, y el segundo componente de uno es igual al segundo componente de la otra.
Se define (a,b)={{a},{a,b}} si a¹b y, (a,a)={{a},{a,a}}={{a}}. Al proponer esta definición, Kuratowsky, dice que se puede definir de varias maneras, por lo que cabe una otra posibilidad como (a,b) = {{a}, {{b}}}.
La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

(a,b) = (c,d) si y solo si  a=c  y  b=d

Ejemplo

• Halle el valor de “x” y de “y”, para que los pares ordenados sean iguales.

(x + 2,5)=(6,y – 3)

Solución

Para que los pares ordenados sean iguales se debe cumplir:

x + 2 = 6 Ù  y – 3 = 5

x = 4 Ù y = 8

PRODUCTO CARTESIANO

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X e Y, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir.
Dados dos conjuntos (no vacíos) A y B, Se llamará producto cartesiano de A y B, al conjunto de todas las cuplas (a,b) tales que a ∈ A y b∈ B.

A×B = {(a,b) / a∈A ∧ b∈B}

Si n(A) = m y n(B) = n

n(A×B) = m×n

Observación:

• En el producto cartesiano , el conjunto “A” es el conjunto de partida, y el conjunto “B” es el conjunto de llegada.

• El producto cartesiano de “A” por “B” no es conmutativo: A x B  B x A

Ejemplo:

• Dado A = {2, 4, 6} B = {m, n, q}, hallar AxB:
       m       n      q

2 (2,m) (2,n) (2,q)

4 (4,m) (4,n) (4,q)

6 (6,m) (6,n) (6,q)     AxB={(2,m),(4,m),(6,m),(2,n),(4,n),(6,n),(2,q),(4,q),(6,q)} 

Ejemplo:

• Dado A = {a, b, c}, hallar AxA:

       a      b       c

a (a,a) (a,b) (a,c)

b (b,a) (b,b) (b,c)

c (c,a) (c,b) (c,c)        AxA={(a,a),(b,a),(c,a),(a,b),(b,b),(c,b),(a,c),(b,c),(c,c)} 

El Plano cartesiano

Sobre un plano se trazan dos rectas perpendiculares que se intersecan en un punto, que se denota con la letra O(origen). 

Un punto P tiene correspondencia biunivoca con un par ordenado de números reales (a,b)

P=(a,b)

Ubicacion de puntos en el plano

• Los puntos A(2,0) y B(0,2) • Los Puntos P(5,2) y Q(-2,-2)

y C(0,-4), son

REPRESENTAR: A(-3,-2), B(5,0),C(4,-3)

RELACIONES BINARIAS 

Una relación binaria R de A en B es un subconjunto de AxB

Es decir:

Diremos que un elemento a Î A está relacionado con

un elemento b Î B por la relación binaria R si se

verifica que (a, b) Î R.

R Í AxB= {(a, b) / a Î A, b Î B}

EJEMPLO

 Si A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8}

 La relación 

 R={(x,y)ΠAxB; y = x} es

 R={(2,2)(4,4)}

IMÁGEN Y PREIMÁGEN

• Cada elemento aÎA que tiene su correspondiente en B, se denomina preimágen de bÎB.

• El conjunto de todas las preimágenes se denomina dominio de la relación.

• Los elementos bÎB que tienen por lo menos una preimágen se llaman imagen de aÎA.

• El conjunto de todas las imágenes se denomina recorrido o rango de la relación.

DE LA FIGURA SE PUEDE

DETERMINAR:

F={(0,2),(5,1),(9,4)}

y se dice que

2 es imágen de 0

1 es imágen de 5

9 es preimágen de 4

0

5

7

9

1

2

3

4

El dominio de la relación F es DF={0,5,9}

E rango de la relación F es RF={ 1,2,4 }

O también:

16Sea R = {(x,y) AxB} una relación. 

DOMINIO Y RANGO

El rango R está formado por las segundas

componentes. 

El dominio D de la relación R, está formado por

las primeras componentes.

17 D x A; x,y R R

      

R y B; x,y R R

      EN LA RELACIÓN 

R={(1,2),(2,3),(2,5)}

• El dominio es

• DR= {1,2}

• El rango es 

• RR={2,3,5}

18(x, y)  NxN ; x + y < 8

19Para hallar el dominio y rango 

de una relación en R 

• DOMINIO: Se despeja la variable “y”, analiza 

todos los valores posibles que pueda tomar la 

variable “x” de manera que y R.

• RANGO: Se despeja la variable “x”, analiza 

todos los valores posibles que toma la variable 

“y” de manera que x R.

20 Lic. Mercedes Morales IbarraEJERCICIO

1 2x

3x 1

y







21

• Para la relación 

 R = { (x,y)R

2 / y – 3x – 2xy + 1 = 0 }, halle su dominio.

• Para determinar si es función, despejemos y en función de x,

de modo que al dar un valor para x se obtiene uno o más

valores para y.

Claramente al dar un valor a x se obtiene un único valor

para y, por ejemplo si x = 0, y = – 1 , por tanto es un

función además x no puede tomar el valor de ½, ya que

no existe la división por cero.

Luego el dominio de R : R – {1/2}FUNCIÓN

Una función F de A en B es una relación de A en B

que cumple la siguiente condición:

Si un par (x,y)  F escribimos y = F(x)

(x,y)  F  (x,z)  F  y = z

22Teniendo en cuenta la definición de función 

¿Cuáles de ellas son gráficas de funciones?

h

- 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

1

2

3

4

x

y

h

- 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

1

2

3

4

x

y

h

- 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

1

2

3

4

x

y

h

- 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6

- 5

- 4

- 3

- 2

-1

1

2

3

4

x

y

(a) (b)

(c) (d)

23Ejercicio

Determine el dominio de cada función

x x

c f x





2

1

) ( )

Determinación del dominio de una función a

partir de su regla de correspondencia

a) f(x) = 3x-2

3

1

) ( )





x

b f x

1

) ( )

+



t

t

d g t

24FUNCIÓN LINEAL

La función f : R R definida por :

f(x) = mx + b, m  0 es la función lineal y 

tiene por gráfica a una recta.

y=mx+b, m>0 y=mx+b, m<0

Lic. Mercedes Morales Ibarra 25Ejemplos

Sea la función f definida por f(x) = 3x – 9,

Tabulando:

-4

-2

0

2

4

2 3 4

y = f(x)

x y = f(x)= 3x - 9

2 -3

3 0

4 3

26Ejemplos

Sea la función f definida por f(x) = – 3x + 9,

Tabulando:

x y = f(x)= -3x + 9

2 3

3 0

4 -3

-4

-2

0

2

4

2 3 4

y= f(x)

27FUNCIÓN CUADRÁTICA

La función f : R R definida por :

f(x) = ax2 + bx + c, a  0 es la función cuadrática y 

tiene por gráfica a una parabola.

y=ax2+bx+c, a>0 y=ax2+bx+c, a<0

28FUNCIÓN CUADRÁTICA

f(x) = ax2 + bx + c, a  0 se puede escribir como

f(x) = a(x – h)2 + k , cuyo vértice es (h,k)

f(x) = x2 + 4x + 5, se puede escribir como

f(x) = (x + 2)2 + 1 , cuyo vértice es (– 2,1)

Tabulando:

x f(x)

-4 5

-3 2

-2 1

-1 2

0 5

29FUNCION ENTERO O 

FUNCION ESCALERA

F es la función entero, denotada por

Y = F(x) = [|x|], 

se define por: 

F(x)= [|x|] = n s.s.s. n  x < n+1, nZ

También se puede expresar:

F={(x , y)  R x R; y = [|x|] }

Lic. Mercedes Morales Ibarra 30GRAFICA DE LA 

FUNCIÓN ESCALERA

31

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

x

y

Df = R, Rf = Z FUNCIÓN SIGNO

• Y = F(x) = sig( x ), donde sig( x ) = 

Lic. Mercedes Morales Ibarra 32 













0,x 0

;x 0

x

x

- 2

- 1

0

1

2

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

x

y

Df = R 

Rf = {-1,0,1}FUNCIÓN VALOR 

ABSOLUTO

• Definición

• Dado x  R, el valor 

absoluto de x es:

33

Df = R , Rf = [0, +∞

, 0

, 0

x si x

x

x si x

 

 



 FUNCIÓN RAIZ 

CUADRADA

y  F(x)  x

x y

0 0

1 1

4 2

34

DF = RF= [0,+∞.

.

Lic. Mercedes Morales Ibarra 35Logro de la Unidad I

• Al finalizar la primera unidad, los estudiantes

en forma individual, presentan y exponen

dos problemas de contexto, utilizando

conceptos, propiedades y aplicando

correctamente los modelos de funciones

estudiados.

36ALGEBRA DE 

FUNCIONES

• Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes 

operaciones, para todo x є Df ∩ Dg: 

1. Suma: f+g ={(x,y), y=(f + g)(x) = f(x) + g(x)} 

2. Diferencia: f-g ={(x,y), y =(f - g)(x) = f(x) - g(x)} 

3. Producto: f.g ={(x,y), y = (fg)(x) = f(x)g(x) }

4. Cociente: f/g ={(x,y), y = (f/g)(x) = f(x)/g(x)} además x es 

tal que g(x)  0.

37Si F= {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} G={(1,4),(3,5),(4,1),(6,2)}

H={(2,1),(3,3),(4,-1),(5,2)}

Entonces:

F + G = {(1,2+4),(3,4+5),(4,5+1)} = 

 = {(1,6),(3,9),(4,6)}

G-H= {(3,5-3),(4,1-(-1)} = {(3,2),(4,2)}

FH={(2,3.1),(3,4.3),(4,(-1)5)}={(2,3),(3,12),(4,-5)}

3F={(1,3.2),(2,3.3),(3,3.4),(4,3.5)}

 = {(1,6),(2,9),(3,12),(4,15)}

G/F={(1,2),(3,5/4)(4,1/5)}

38Si F(x) = 2x+1, G(x)=4-x+x2

• (F+G)(2)=F(2)+G(2)= [2(2)+1]+[4-2+22

]=5+6=11

• (G-F)(4)=G(4)-F(4)= [4-4+42

]- [2(4)+1]= 16-9=7

• (FG)(1)=F(1) G(1)= [2(1)+1] [4-1+12

]=3 .4=12

• 5F(-3)= 5[2(-3)+1]=5(-5)=-25

• F

3

(3)= [2(3)+1]3=

 7

3=343

• G2

(-2)=

• (F-G)(3)=

• (GF)(4)-(F-G)(3)=

Lic. Mercedes Morales Ibarra 39TRASLACIÓN DE 

FUNCIONES

40

0

2

4

6

-2

-4

-6

4

-6 -4 -2 2 4 6 x

y=f(x)

Y = f(x-h) + k, h>0, 

k>0

Y = f(x + h) + k, h>0, 

k>0

Y = f(x + h) - k, h>0, 

k>0

Y = f(x-h) - k, h>0, 

k>0DADA LA GRÁFICA DE f, 

f(x)= 

g(x)  x  3 + 3, h(x)  x + 3 + 3 y M(x)  x + 3  3, N(x)  x  3  3

41

-4

-2

0

2

4

6

8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

y

x

Y=x1/2FUNCIÓN COMPUESTA

• Dada las funciones f y g, la función compuesta: 

 f o g es la función definida por 

 h(x) = (f o g)(x ) = f [ g(x) ].

• El dominio de f o g es el conjunto de todo los 

elementos del dominio de g, tal que g(x) se halla 

en el dominio de f

• Es decir, Df o g = {x  Dg ; g(x)  Df } 

Lic. Mercedes Morales Ibarra 42DIAGRAMA DE LA 

FUNCIÓN COMPUESTA

.

43

g(x)

Rg Df

Dg Rf

H(x) f(g(x))=(fog)(x)

R fog

A B

C

D fog

g

f

h

 fog

Df o g  Dg  A Rf o g  Rf  COTRO DIAGRAMA DE LA 

FUNCIÓN COMPUESTA

.

Lic. Mercedes Morales Ibarra 44

A B

C

F

G

GoF.

45 g(x) x ,

F(x) 3x 1,

2



 +

 

5

7

c) (h o g)(2) [g(2)] h 4

2

5

2

1

b) (f o h)(1) f[h(1)] f

a) (f o g)(-1) f[g(-1)] f[1] 4

  

 











 

  

h

(x 1)

(2x - 1) h(x)

+

Para la gráfica de una función se considera:

1) Dominio y rango de la función

2) Simetrias (eje X, eje Y, orígen)

3) Intersección con los ejes coordenados

4) Asíntotas

5) Tabulación

GRÁFICA DE FUNCIONES

46GastoS

 65

El consumo de agua es de 4 soles el m3

si llega hasta 10 m3

. Se

cobra un recargo de 5 soles por cada m3 de exceso.

Encontrar el modelo que indique el gasto por el consumo de

agua. Determinar el gasto por el consumo de 5, 10 y 15 m3

0 5 10 15

Sean x los m3 de agua 

consumida, G el gasto, 

entonces 

 4x, si 0 ≤ x ≤10

G(x)=

 40+5(x-10), si x>10

40

APLICACIÓN

47C(t)=

2t + 4 , 0 ≤ t < 4 [2,6>

3t + 5 , 4 ≤ t <10 [6,12>

14 , 10 ≤ t <15 [12 , 17>

48-2t, 15 ≤ t <20 [17, 22>

t

C

4

12

0

4

t

C

10

35

4

17

t

C

15

14

10

14

t

C

20

8

15

18

EL SIGUIENTE MODELO DESCRIBE LA 

CONTAMINACIÓN EN UNA CIUDAD 

DESDE LAS 2am HASTA LAS 10 pm

CONTAMINACIÓN

 40-

 35-

 20-

 15-

 10-

 05- 

4 10 15 20 25 horas (T) 

48LA UTILIDAD U POR ELABORAR Y 

VENDER X UNIDADES DE CIERTO 

FÁRMACO TIENE COMO MODELO:

V=(20,400)

U= 40x – x2 (PARABOLA)

Para graficar hallamos la forma 

canónica

Y= 40x – x2

Y= -(x2 – 40x)

Y= -(x2 – 40x + 202) + 202

Y – 400 = -[x-20]2

(x-20)2 = -(y-400)

(x-h)2 = 4p (y-k) 

La máxima utilidad es 400 cuando se 

elaboran 20 y venden 20 unidades

20 40

Lic. Mercedes Morales Ibarra 49..

50Logro de la Unidad I

• Al finalizar la primera unidad, los estudiantes

en forma individual, presentan y exponen

dos problemas de contexto, utilizando

conceptos, propiedades y aplicando

correctamente los modelos de funciones

estudiados.

51FUNCION INYECTIVA

• Una función F de M en 

N es inyectiva, si a 

elementos diferentes 

del dominio le 

corresponden 

elementos diferentes 

del rango

• F es inyectiva si x1 ≠ x2

→ F(x1

)≠ F(x2

)

• También si F(x1

) = F(x2

)

→ x1 = x2

52

A

B

C

D

1

2

3

4

M N

F EJEMPLOS:

Inyectivas: No Inyectivas: 

53FUNCION SOBREYECTIVA y BIYECTIVA

• Una función F de M en 

N es sobreyectiva, 

 si RF = N

• Una función F de M en 

N es biyectiva, 

 si es sobreyectiva e 

inyectiva

54

A

B

C

D

1

2

3

4

M N

FFUNCIÓN INVERSA

Lic. Mercedes Morales Ibarra 55

Si f y g son dos funciones tales que

f (g(x)) = g( f (x)) = x entonces f y g son 

funciones inversas.

Ejemplo ilustrativo:

Si f (x) = x + 3 y g(x) = x - 3, f y g son 

inversas, pués

 f (g(x)) = (x - 3) + 3 = x 

y g( f (x)) = (x + 3) - 3 = x.REGLA PARA DETERMINAR 

LA FUNCIÓN INVERSA

• Dada la función, y=F(x), se despeja la variable 

x, luego se permutan las variables x e y

 Ejm: F={(x,y); y=3x-2}

• Despejando X: x=1/3( y+2)

• La inversa es:

F*=F-1={x,y); y=1/3(x+2)}

56GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN 

F Y SU INVERSA F-1

57

F: y=3x-2

F-1

: y=1/3(x+2)

Y=x.

Lic. Mercedes Morales Ibarra 58Logro de la Unidad I

• Al finalizar la primera unidad, los estudiantes

en forma individual, presentan y exponen

dos problemas de contexto, utilizando

conceptos, propiedades y aplicando

correctamente los modelos de funciones

estudiados.

59FUNCIÓN EXPONENCIAL

• La función exponencial

 toma la forma 

 Y=F(x) = a x

• Si a > 1 

 Ejm y = 2x

• DF= R

• RF= 0, +  

60FUNCIÓN EXPONENCIAL

• F={(x,y); y=ax

}

• Ejemplo:

• Y= F(x) = 2x

x y

-1 1/2

0 1

2 4

61

DF = R, RF= 0, +∞FUNCIÓN EXPONENCIAL

• La función exponencial

 toma la forma 

 Y=F(x) = a x

• Si 0 < a < 1 

 Ejm y = (1/2)x

• DF= R

• RF= 0, +  

Lic. Mercedes Morales Ibarra 62FUNCIÓN EXPONENCIAL

• F={(x,y); y=ax

}

• Ejemplo:

• Y= F(x) = (1/2)x

x y

-2 4

0 1

1 ½

63

DF = R, RF= 0, +∞.

Lic. Mercedes Morales Ibarra 64FUNCIÓN LOGARITMO

• Definición

y=Loga

x s.s.s x = ay

• 3

4=81 Log381=4

• 5

2=25 Log525=2

• 2

5=32 Log232=5

• Propiedades:

1. Loga

a=1, pués a1=a

2. Loga1=0, pués a0=1

3. Logbmn= Logbm +Logbn

4. Logbm/n= Logbm- Logbn

5. Logbmn = nLogbm

6. Logbm1/n = (Logbm)/n

7. Logb

a= [Logc

a]/[Logcb]

8. Log10a=Loga, Log decimal

9. Loge

a=Lna, log neper.

Lic. Mercedes Morales Ibarra 65GRÁFICA DE LAS FUNCIONES 

EXPONENCIAL Y LOGARITMO

• Y=F(x) = 2x

• Y=G(x)=Log2

x

x 2

x

-1 ½

0 1

2 4

x Log2x

0.2 -2.3

1 0

4 2

66

Y=2x

Y=Log2x

Y=X

DF=R, 

RF=0,+∞

DG=0 , +∞ ,

RF=R F : Y= eX

X Y

0

1

2

3

-1

-2

-3

1

2.7

7.3

20.1

0.4

0.1

0.05

F

-1 : Y= Lnx

X Y

0.2

0.5

1

2

3

4

-1.6

-0.7

0

0.7

1.1

1.4

F

F-1

Y=X

Lic. Mercedes Morales Ibarra 67Lic. Mercedes Morales Ibarra 68

.69

El tamaño de cierto cultivo de bacterias se multiplica por 2 cada 20 minutos, 

si al cabo de 3 horas el cultivo tiene 576 millones de bacterias, ¿cuántas 

había en el instante inicial?

• La función que permite modelar el problema es 

M(t)=M0e

kt

• En este caso como se duplica M(t)=M02

t/20

 donde t es indica el número de minutos transcurridos 

desde el inicio.

Como en 3 horas hay 180 minutos , t= 180

M(180)=M02

180/20=576 000000

M02

9=576 000000

Mo=576 000000/512 = 1125000

Inicialmente habían 1125000 bacterias70

¿cuánto tiempo debe transcurrir para que el número de bacterias sea 800 

millones? 

• Según el modelo M(t)=11250002

t/20

 donde t es indica el número de minutos transcurridos 

desde el inicio.

Se tiene que en algún tiempo t, M(t) = 800 000 000

Luego 800 000 000 = 11250002t/20 

800 000/1125000= 2t/20

711= 2t/20

Aplicamos logaritmo en base 10

Log(711) = log 2

t/20 Log(711) = log 2t/20

2.85 = (t/20) log2 2.85 = (t/20) log2

2.85 = (t/20) (0.3) t = 190 minutos




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